Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением

Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , где -- число, называется гиперболой. Однако это -- частный случай гиперболы (равносторонняя гипербола).

Определение.Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная равная 2а.

Для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат -- перпендикулярно к нему. По определению, абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна .

Теорема. Пусть расстояние между фокусами гиперболы равно Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением , т.е. фокусы имеют координаты F1(-с,0), F2(с,0), тогда в выбранной системе координат гипербола имеет уравнение (3), где или .

Доказательство. Пусть М(х,у) -- текущая точка гиперболы.

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны, то , то есть 2a < 2c, a < c. В силу последнего неравенства вещественное число , определяемое формулой , существует.

По условию, фокусы -- F1(-с,0), F2(с,0). По формуле для случая плоскости получаем

По определению гиперболы

Это уравнение запишем в виде

Обе части возведем в квадрат:

После приведения подобных членов и деления на 4, приходим к равенству

Опять обе части возведем в квадрат:

Раскрывая скобку и приводя подобные члены, получим

С учетом формулы уравнение принимает вид

Разделим Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением обе части уравнения на и получим уравнение (3) .

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. (что и треб. доказать).

Свойство. Гипербола обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых лежат фокусы гиперболы, и центром симметрии. Если гипербола задана каноническим уравнением, то ее осями симметрии служат координатные оси и Оу, а начало координат -- центр симметрии гиперболы.

Определения.Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением (3), с осью называются вершинамигиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками (0, -b) и (0,b) называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром.Величина Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые , к которым график гиперболы приближается, но не пересекает, называются асимптотами гиперболы. Уравнения директрис .

Замечание.Величина с> a, то есть у гиперболы . Эксцентриситет характеризует угол между асимптотами, чем ближе к 1, тем меньше этот угол.

Построение гиперболы. Чертим основной прямоугольник, т.е. прямоугольник с центром в начале координат со сторонами 2a и 2b, диагоналями которого будут асимптотами гиперболы.

Замечание.В отличие от эллипса в каноническом уравнении гиперболы соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение имеет знакомый вид , если взять , а оси Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением и направить по биссектрисам четвертого и первого координатных углов (рис.).



Замечание 1. Если каноническое уравнение гиперболы имеет вид (3*), то ее фокусы располагаются на оси Оу, их координаты F1(0,-с), F2(0,с), числа и называются соответственно мнимой и действительной полуосями гиперболы; уравнения асимптот , уравнения директрис .

Вообще говоря, данное уравнение (3*) не является каноническим, так как знаки перед и у2 противоположны знакам в первом каноническом уравнении (3). Но, если переобозначить переменные, т.е. взять , то получим снова каноническое уравнение (3): . В связи с этим уравнение (3*) будем сразу называть каноническим.

Замечание 2. Если центр гиперболы смещен и лежит в точке М0(х0,у0), то каноническое уравнение гиперболы Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением примет вид: (или ). Тогда координаты фокусов F1(х0-с, у0), F2(х0+с, у0), уравнения асимптот , уравнения директрис .

Пример 1.Постройте гиперболу , найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Разделим обе части уравнения на 4. Получим каноническое уравнение , , . Проводим асимптоты и строим гиперболу (рис.).

Из формулы получим . Тогда фокусы -- , эксцентриситет .

Пример 2.Постройте гиперболу . Найдите ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Преобразуем уравнение к виду . Фокусы гиперболы лежат на оси (Оу), действительная полуось b = 5, мнимая а = 2. Асимптоты имеют уравнение .

Из формулы получим , эксцентриситет , координаты фокусов .


documentaiipifh.html
documentaiipppp.html
documentaiipwzx.html
documentaiiqekf.html
documentaiiqlun.html
Документ Гипербола. Из школьного курса математики известно, что кривая, задаваемая уравнением